6.2 Radiosity

Dieses Verfahren gehört zu den globalen Beleuchtungsmodellen und betrachtet die Ausbreitung des Lichts unter Beachtung des Energiegleichgewichts in einem geschlossenen System. Dieses Verfahren beruht auf den Hauptsätzen der Thermodynamik. Der erste Hauptsatz ist der von Robert Meyer formulierte Energieerhaltungssatz :

Die Energiesumme in einem abgeschlossenen System, dem also weder Energie zugeführt noch entzogen wird, ist konstant.

Dies ist der wichtigste Grundlage für das Strahlungs- oder Radiosity-Verfahrens. Der zweite Hauptsatz besagt, dass alle Naturvorgänge so verlaufen, dass die gesamte Entropie aller beteiligten Körper zunimmt. Als Schlussfolgerung für ein geschlossenes System gilt, dass in diesem die Energie niemals abnimmt.
In unserem Fall sehen wir das Licht als Energie und können daher diese Sätze für die Beleuchtung von Szenen verwenden. Im folgenden werden einige Voraussetzungen angegeben :

  1. Alle Flächen in einer Szene sind ideal diffus reflektierende Flächen.
  2. Alle Flächen sind homogen bezüglich ihrer Eigenschaften, haben also z.B. über die Fläche eine konstante Farbe.
  3. Die Szene ist in sich abgeschlossen. Das bedeutet, dass der Szene weder Energie zugeführt noch entzogen wird.

Die von einer Fläche abgestrahlte Energie setzt sich aus der eigenen Energie (falls es sich um eine Lichtquelle handelt) und der gewichteten Summe aller auf dieser Fläche auftreffenden Energien von anderen Flächen zusammen. Die Gewichtung ist abhängig von der Geometrie der Szene, also von der Lage der einzelnen Flächen und der Ausrichtung zueinander. Als Formel sieht das folgendermaßen aus :

Die Tabelle 1 erläutert die für das Radiosity-Verfahren benutzte Notation.
Bezeichnung
Bedeutung
Bi Energiedichte (also Energie pro Zeit- und Flächeneinheit) der Fläche i, auch Radiosity der Fläche i genannt.
Ei Energiedichte der Fläche i ohne Fremdeinwirkung (Emission).
pi Reflexionsvermögen der Fläche i. Sie gibt an, welcher Teil des einfallenden Lichtes auch wieder abgestrahlt wird.
Fji Der sogenannte Formfaktor. Er gibt an, welcher Teil der Energiedichte einer Fläche j auf die Fläche i übergeht und ist allein von der Geometrie der Szene abhängig.
N Anzahl der Flächen in der Szene.

Tabelle 1

Dies sind N Gleichungen für N unbekannte Größen, nämlich die B1 bis BN. Also handelt es sich um ein lineares Gleichungssystem der Form

wobei

und

Die Parameter sind wellenlängenabhängig, so dass dieses Gleichungssystem für die einzelnen Primärfarben (üblicherweise rot, grün und blau) gelöst werden muss.

Die Berechnungen beim Radiostiy-Verfahren sind recht umfangreich, doch bietet dieses Verfahren einige Vorteile. So ist die Lösung blickpunktunabhängig, was sich z.B. für Kameraanimationen anbietet. Erst wenn sich die Geometrie, die Lichtquellen oder die Reflexionseigenschaften von Objekten ändern, muss ein neues Gleichungssystem gelöst werden.
Leider sind in der Realität nicht alle Oberflächen ideal diffus, so dass mit Verfahren wie dem Mehrpassverfahren nachgeholfen werden muss. Hierbei werden die spiegelnden Flächen mit den Methoden der Strahlenverfolgung (Raytracing) errechnet.

6.2.1 Berechnung der Formfaktoren

Die Berechnung der Formfaktoren ist beim Radiosity-Verfahren der bei weitem aufwendigste Teil. Beschreibt man die Formfaktoren für endliche Flächen i und j in einer Umgebung in der sich die Objekte gegenseitig nicht verdecken, so gilt :

Die Bedeutung der einzelnen Größen können in der Abbildung 1 entnommen werden. Ai bzw. Aj bezeichnen die Flächen, r den Abstand der Flächen zueinander, Φi bzw. Φj den Winkel zwischen der Flächennormale und dem Richtungsvektor zur anderen Fläche. Wird die Forderung nach sich nicht verdeckenden Objekten aufgehoben, und sind Teile der Fläche Fj aus der Sicht von Fi verdeckt, muss die Gleichung zu

mit der "Blockierungsfunktion" hij erweitert werden.


Abbildung 1

Die exakte Berechnung dieses Integrals stellt sich als ziemlich schwierig heraus. Als alternative Berechnungsmethode kann man das Nusselt-Analogon verwenden, das in Abbildung 2 beschrieben ist.


Abbildung 2

Es besagt, dass der Formfaktor Fij dem Anteil der projizierten Fläche Aj an der Grundfläche einer Einheitshalbkugel um einen Punkt auf Ai entspricht. Dabei wird Aj zuerst auf die Oberfläche der Halbkugel und anschließend orthogonal auf die Fläche Ai projiziert.
Auch diese Berechnung ist, insbesondere unter Miteinbeziehung des Verdeckungsproblems, analytisch immer noch sehr schwer zu beschreiben. Die Einheitshalbkugel wird daher durch einen "Einheitshalbwürfel" (hemi cube) ersetzt. Auf diesem Einheitshalbwürfel kann nun wesentlich einfacher eine Projektion berechnet werden. Dazu werden die fünf Seiten des Halbwürfels in Pixel unterteilt, wobei man den Formfaktor Fij erhält, indem die von der anderen Fläche Aj überdeckten Pixel addiert werden. Die Abbildung 3 verdeutlicht dieses Verfahren.


Abbildung 3

Mit einem Halbwürfel werden also die Formfaktoren für alle Flächen j und ein festes i bestimmt. Zur Berechnung aller Formfaktoren muss die Szene jeweils auf dem Halbwürfel über jede der N Flächen dargestellt werden (Abbildung 4).


Abbildung 4

Eine Implementation wird durch ein paar hilfreiche Beziehungen vereinfacht. So ist die Beziehung zwischen den Flächen symmetrisch, wodurch folgendes gilt.

Die Formfaktoren wie Fii verschwinden, wenn wir von planaren Flächen ausgehen.

Aufgrund der Definition der Formfaktoren und aufgrund der Energieerhaltung ist die Summe aller Formfaktoren einer Fläche gleich 1.

6.2.2 Lösung des Gleichungssystems

Nach der Formfaktorberechnung muss das Gleichungssystem A*B=E nach B aufgelöst werden. Eine Möglichkeit ist die Lösung des Gleichungssystems durch Invertierung der Matrix A. Multipliziert man die Gleichung mit A-1, so erhält man die Lösung:

Das Problem bei dieser Lösung liegt in der Platz- und Zeitkomplexität, die bei N2 Platzeinheiten und bei N3 Zeiteinheiten liegt. Schon Szenen mittlerer Komplexität haben mehrere tausend Flächen.
Es gibt aber auch ein Iterationsverfahren, dessen Vorgehensweise folgende ist : Es wird für jeden Schritt des Verfahrens die Fläche j bestimmt, die am meisten Energie zu "verteilen" hat. Das werden am Anfang die Lichtquellen sein. Für diese eine Fläche werden alle Formfaktoren Fij bestimmt, d.h. ein Einheitshalbwürfel wird ausgewertet. Anschließend wird die vorhandene Energie gemäß der Formfaktoren zu den Energien der anderen Flächen addiert. Danach wird die nächste Fläche gesucht, die nun noch die meiste Energie zu verteilen hat. Es kann gezeigt werden, dass dieses Verfahren gegen die Lösung B von oben konvergiert.

6.2.3 Zusammenfassung der einzelnen Schritte

Zur besseren Übersicht werden die einzelnen Schritte des Radiosity-Verfahrens in einem Diagramm zusammengefasst (siehe Abbildung 5).


Abbildung 5

Es ist ersichtlich, dass für eine Änderung des Abbildungsparameters (wie z.B. der Blickpunkt) die zeitaufwendige Berechung der Formfaktoren sowie die Lösung des Gleichungssystems entfallen können. Das Gleichungssystem muss dann erneut berechnet werden, wenn sich Farb- oder Beleuchtungsparameter (wie. z.B. die Intensität einer Lichtquelle) ändern. Verändern Objekte ihre Position, oder werden neue hinzugefügt, müssen auch die Formfaktoren erneut berechnet werden.